سطح ۱۹ — بخش پنجم
روش نیوتن و چرتکهٔ کشندی
در پایانِ سطحِ ۱۳ دیدی که ریشهٔ سوم، برخلافِ ریشهٔ دوم، مقسوم‌علیهِ در حالِ رشدش پیچیده می‌شود ((300a² + 30ad + d²) × d) و هر رقمِ تازه محاسبه‌اش سخت‌تر از رقمِ قبلی است — دقیقاً همان دلیلی که چرتکه برای ریشهٔ سوم کمتر رایج بود. راهِ فرار از این پیچیدگی این است که اصلاً رقم‌به‌رقم جلو نرویم: به‌جایش از یک حدسِ اولیهٔ خام شروع کنیم و آن را با یک محاسبهٔ ساده، چندبار پشتِ سرِ هم، بهتر و بهتر کنیم. این ایده — قدیمی‌تر از خودِ نیوتن، اما امروز به همین نام معروف است — فقط یک زنجیره از تقسیم‌های ساده است، و با سرعتی عجیب به جواب نزدیک می‌شود.
ایدهٔ روشِ نیوتن برای ریشهٔ n اُم: از یک حدسِ اولیهٔ x₀ شروع کن و با این فرمول، حدس را بهتر کن:
برای ریشهٔ سوم (n = 3)، فرمول ساده می‌شود به:
چرا این فرمول جواب می‌دهد؟ فرض کن x حدسی برای ریشهٔ سومِ A است. اگر حدس درست بود، A⁄x2 هم دقیقاً همان x درمی‌آمد (چون x × x² = A). اما وقتی حدس کمی اشتباه است، این دو عدد — خودِ x و A⁄x² — معمولاً از دو طرفِ ریشهٔ واقعی می‌افتند: یکی کمی کوچک‌تر، دیگری کمی بزرگ‌تر. میانگین‌گرفتن از آن‌ها، حدسی می‌سازد که به ریشهٔ واقعی نزدیک‌تر است. تنها فرقِ فرمولِ بالا با یک میانگینِ سادهٔ این دو عدد، وزن‌دادنِ بیشتر به x است (دو سهم به‌جایِ یک سهم) — همین وزن‌دهی است که باعثِ همگراییِ سریع‌تر و پایدارتر می‌شود.
نکتهٔ جالب این‌جاست: همگراییِ این روش «درجه‌دوم» است — یعنی تعدادِ رقم‌های درستِ جواب تقریباً در هر تکرار دوبرابر می‌شود. در روش‌های سنتی، هر قدم فقط یک رقمِ تازه به جواب اضافه می‌کند؛ اینجا معمولاً دو یا سه تکرار برای ۷ یا ۸ رقمِ درست کافی است.
فرمول و جدولِ مکعب‌ها
برای انتخابِ حدسِ اولیه، جدولِ مکعب‌های ۱ تا ۹ را حفظ می‌کنیم و رادیکال را طوری با توانی از هزار می‌نویسیم که عددِ باقی‌مانده بینِ ۱ و ۱۰۰۰ باشد؛ سپس نزدیک‌ترین مکعبِ جدول را برای حدسِ اول انتخاب می‌کنیم.
| عدد | مکعبِ آن |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 8 |
| 3 | 27 |
| 4 | 64 |
| 5 | 125 |
| 6 | 216 |
| 7 | 343 |
| 8 | 512 |
| 9 | 729 |
مثلاً برای ریشهٔ سومِ ۶۶۶، چون ۶۶۶ بینِ ۶۱۶ (=۸³) و ۷۲۹ (=۹³) است و به ۷۲۹ نزدیک‌تر، حدسِ اول را ۹ می‌گیریم — یا برای دقتِ بهتر، از میانِ همین دو، آن‌که فاصله‌اش کمتر است.
آزمایشگاهِ ریشهٔ سوم با نیوتن
یک عدد بده و ببین چند تکرار طول می‌کشد تا ریشهٔ سومش با دقتِ زیاد پیدا شود.
برای انجام تمرین این بخش وارد حساب شوید.
ورودریشهٔ پنجم و فراتر
همین روش برای ریشهٔ پنجم هم کار می‌کند: xk+1 = 4xk + A⁄xk45، فقط باید هر بار چهار توانِ x را حساب کنی که کمی کارِ بیشتری دارد. برای ریشه‌های اَولیِ بالاتر (مثلِ هفتم) این روش دیگر عملی نیست، چون محاسبهٔ آن توان‌های بالا خودش دردسر می‌شود؛ برای آن حالت‌ها، محاسبهٔ لگاریتمی راهِ عملی‌تری است. آن یک داستانِ دیگر است، اما این را بدان که کسانی که با چرتکه لگاریتم هم حساب می‌کرده‌اند وجود داشته‌اند!
از سنّ ماه تا زمانِ جزر و مد
در سطحِ ۱۶ محاسبه‌گرِ سنّ ماه را دیدی. یک قدمِ دیگر و به یک وسیلهٔ واقعی و قدیمی می‌رسیم: چرتکهٔ کشندی، ابزاری که ملوانان با آن، فقط از روی سنّ ماه، زمانِ تقریبیِ جزر و مدِ محلی‌شان را حدس می‌زدند.
فرمول:
که در آن t سنّ ماه است و K ثابتی مخصوصِ همان نقطه از ساحل. ضرب‌درِ 2430 یک چرخهٔ ۳۰روزهٔ ماه را به یک چرخهٔ ۲۴ساعته نگاشت می‌کند — این تبدیل ساده است، اما در این تقریب کاربردی است.
برای پیدا کردنِ K یک محل: چند روزِ ماهِ‌کامل را در سالنامهٔ دریایی پیدا کن، زمانِ اولین جزرِ بعدازظهرِ هرکدام را یادداشت کن، میانگین بگیر، و ۱۲ ساعت از آن کم کن — چون در ماهِ کامل سنّ ماه ۱۵ روز است. برای بندرِ ماسا‌گونِ اسپانیا، این محاسبه K را نزدیکِ ۳ ساعت و ۲۶ دقیقه به‌دست می‌دهد.
آزمایشگاهِ چرتکهٔ کشندی
یک تاریخ و ثابتِ محلی انتخاب کن (پیش‌فرض، همان مثالِ ماسا‌گون) و ببین ابزار زمانِ تقریبیِ جزر و مدها را چطور حدس می‌زند.
برای انجام تمرین این بخش وارد حساب شوید.
ورودیک مرور کوتاه: روشِ نیوتن و چرتکهٔ کشندی، هر دو یک ایدهٔ مشترک دارند — وقتی محاسبهٔ دقیق سخت یا غیرممکن است، یک تقریبِ ساده و قابلِ‌محاسبه با دست پیدا کن که «به‌اندازهٔ کافی» درست باشد. رقم‌به‌رقمِ سطحِ ۱۳ دقیق است اما سخت؛ نیوتن سریع و تقریبی است؛ چرتکهٔ کشندی حتی ساده‌تر و تقریبی‌تر است. هرکدام برای موقعیتِ خودش انتخابِ درستی بود.
و این، جمع‌بندیِ کلِ این دوره هم هست: از گذاشتنِ یک مهرهٔ تنها در سطحِ ۰، به جمع و تفریق، ضرب و تقسیم، ریشه‌گیری، و در پایان به روش‌های تقریبی و کاربردهای واقعیِ تاریخی رسیدی. چرتکه فقط یک وسیلهٔ شمارش نیست — یک زبانِ کاملِ محاسبه است، و حالا آن را می‌شناسی. تمرینِ مکرر (به‌خصوص آنزانِ سطحِ ۱۶) تنها چیزی است که بینِ دانستنِ این روش‌ها و سرعتِ واقعیِ یک اپراتورِ حرفه‌ای فاصله می‌اندازد.
خودسنجی
- همگراییِ روشِ نیوتن چه ویژگی‌ای دارد؟
- حدسِ اولیه برای ریشهٔ سوم را از کجا می‌آوریم؟
- در فرمولِ چرتکهٔ کشندی، ثابتِ <span class="ltrnum">K</span> چه چیزی را نشان می‌دهد؟