سطح ۱۷ — بخش پنجم
محاسبهٔ خلاصه (تقریبی)
این ترفند مخصوصِ چرتکه نیست — در حسابِ دستیِ قدیم هم رایج بوده و امروز هم، چه با دست و چه با چرتکه حساب کنیم، به‌کارمان می‌آید. ایده این است: اگر ورودی‌های یک محاسبه از اول دقیقِ کامل نیستند (مثلاً حاصلِ یک اندازه‌گیری‌اند)، محاسبه‌کردنِ همهٔ رقم‌های جواب وقتِ تلف‌کردن است؛ فقط چند رقمِ اولش «بامعنا» است.
قاعدهٔ کلی: جوابِ یک محاسبه هیچ‌وقت بیشتر از کم‌ترین تعدادِ رقمِ بامعنایی که در ورودی‌ها هست، رقمِ بامعنا ندارد. اگر عددی با ۸ رقمِ بامعنا را بر عددی با فقط ۲ رقمِ بامعنا تقسیم کنی، جواب هم فقط ۲ رقمِ بامعنا دارد — به‌دست‌آوردنِ ۸ رقم از آن تقسیم، کاری بی‌فایده است.
آزمایشگاهِ رقم‌های بامعنا
با عددهای زیر بازی کن و ببین وقتی دو عدد را کامل ضرب می‌کنیم چه اتفاقی می‌افتد در مقابلِ وقتی فقط چند رقمِ اولِ هرکدام را نگه می‌داریم.
برای انجام تمرین این بخش وارد حساب شوید.
ورودضربِ خلاصه
این قاعده، طبقِ یک روشِ سنتیِ اسپانیایی: «حاصل‌ضربِ مضروب‌فیه را در رقمِ اولِ ضریب بنویس؛ زیرِ آن، حاصل‌ضربِ مضروب‌فیهِ بدونِ رقمِ آخرش را در رقمِ دومِ ضریب؛ زیرِ آن، حاصل‌ضربِ مضروب‌فیهِ بدونِ دو رقمِ آخرش را در رقمِ سومِ ضریب، و همین‌طور ادامه بده.» یعنی هرچه به رقم‌های کم‌ارزش‌ترِ ضریب می‌رسیم، رقم‌های کم‌ارزش‌ترِ مضروب‌فیه را هم کنار می‌گذاریم — چون سهمِ آن‌ها در نهایت روی رقم‌هایی می‌افتد که اصلاً نمی‌خواهیم.
مثال: 6665 × 1375 = 9164375. اگر فقط ۴ رقمِ بامعنا از جواب لازم داشته باشیم، نیازی نیست هر ۷ رقمِ آن را کامل درآوریم:
| محاسبهٔ کامل (چهار جملهٔ ضرب) | محاسبهٔ خلاصه (فقط ۴ رقمِ بامعنا) |
|---|---|
| 6665000 + 1999500 + 466550 + 33325 = 9164375 | 6665 + 1999 + 466 + 33 ≈ 9163 → گِردشده: 9164 |
در ستونِ سمت راست، به‌جای نوشتنِ هر جملهٔ ضرب با همهٔ صفرهای آخرش، فقط رقم‌هایی از آن نگه داشته شده‌اند که روی ۴ رقمِ اولِ جواب اثر می‌گذارند؛ همین باعث می‌شود جمع، بدون نیاز به محاسبهٔ کاملِ هفت‌رقمی، به همان جوابِ گِردشده برسد. این کوتاه‌سازی با هر روشِ ضربِ چرتکه‌ای که بلدی — نوین یا سنتی — قابلِ انجام است، فقط با یک پنجرهٔ محدودتر از ستون‌ها.
آزمایشگاهِ ضربِ خلاصه
همان عددهای بالا از پیش در آزمایشگاه گذاشته شده‌اند؛ عددِ رقم‌های بامعنا را کم و زیاد کن و ببین محاسبهٔ خلاصه با محاسبهٔ کامل کِی دقیقاً یکی می‌شود.
برای انجام تمرین این بخش وارد حساب شوید.
ورودتقسیمِ خلاصه
همین منطق در تقسیم هم کار می‌کند، فقط برعکس: «رقمِ اولِ خارج‌قسمت را مثلِ همیشه پیدا کن؛ باقیمانده را بر مقسوم‌علیهِ بدونِ رقمِ آخرش تقسیم کن؛ باقیماندهٔ تازه را بر مقسوم‌علیهِ بدونِ دو رقمِ آخرش، و همین‌طور ادامه بده.» یعنی به‌جای دنبالِ‌کردنِ یک تقسیمِ طولانی و بی‌پایان، مقسوم‌علیه را قدم‌به‌قدم کوتاه می‌کنیم تا وقتی که دیگر رقمی از آن نمانده باشد.
مثال: 4567.8 ÷ 95.62
| مرحله | مقسوم‌علیهِ به‌کاررفته | رقمِ خارج‌قسمت |
|---|---|---|
| ۱ | 95.62 | 4 |
| ۲ | 95.6 | 7 |
| ۳ | 95 | 7 |
| ۴ | 9 | 7 |
نتیجه: 4567.8 ÷ 95.62 ≈ 47.77، با کار به‌مراتب کمتر از دنبال‌کردنِ تقسیمِ کاملِ بلند تا هر تعداد رقمی که دلمان بخواهد.
آزمایشگاهِ تقسیمِ خلاصه
عددها را عوض کن و ببین وقتی رقم‌های آخرِ مقسوم‌علیه را کنار می‌گذاریم، خطای خارج‌قسمت چقدر کم است.
برای انجام تمرین این بخش وارد حساب شوید.
وروداین خلاصه‌سازی‌ها نشان می‌دهند که دقتِ کامل همیشه هدف نیست؛ گاهی دانستنِ این‌که کدام رقم‌ها واقعاً روی جواب اثر می‌گذارند مهم‌تر از محاسبهٔ همهٔ رقم‌هاست. سطحِ بعد همین ایده را برای ضرب هم پیش می‌برد، با چند ترفندِ ویژهٔ دیگر.
خودسنجی
- قاعدهٔ کلیِ رقم‌های بامعنا چه می‌گوید؟
- در ضربِ خلاصه، وقتی به رقم‌های کم‌ارزش‌ترِ ضریب می‌رسیم چه‌کار می‌کنیم؟
- در تقسیمِ خلاصه، مقسوم‌علیه در هر مرحله چه تغییری می‌کند؟