سطح ۱۴ — بخش چهارم
اعداد منفی و متمم‌ها
یک عددِ منفی یعنی «کمتر از هیچ» — عددی که از صفر هم پایین‌تر رفته. مثلاً اگر ۵ تومان داشته باشی و ۸ تومان خرج کنی، دیگر ۰ تومان نداری؛ ۳- (منفیِ سه) تومان داری، یعنی ۳ تومان هم بدهکاری. یا مثل دماسنج در زمستان: وقتی دما از صفر درجه پایین‌تر برود، می‌شود «منفیِ چند درجه».
چرتکه هیچ راهی برای نشان دادنِ منفی ندارد — همیشه فقط یک عددِ نامنفی (صفر یا بزرگ‌تر) روی آن می‌بینی. وقتی محاسبه‌ای ممکن بود به زیرِ صفر برود، حسابدارهای قدیمی علامتِ منفی را جدا نگه می‌داشتند: روی کاغذ، یا با یک نشانهٔ کوچک کنارِ چرتکه، و آخرِ کار همان نشانه را به عددِ روی چرتکه اضافه می‌کردند.
اما یک ترفندِ ریاضیِ زیبا هم هست که کاملاً روی چرتکه اجرا می‌شود و اصلاً به علامتِ جداگانه نیاز ندارد: روشِ «متمم».
🤓 یک نکتهٔ جانبی برای کنجکاوها: همین ایده، ته‌ِ قلبِ کامپیوترهای امروزی هم هست. حافظهٔ داخلِ یک کامپیوتر هم مثلِ چرتکه، فقط می‌تواند عددهای نامنفی و با تعدادِ رقمِ محدود نگه دارد؛ کامپیوترها هم برای نشان‌دادنِ منفی، دقیقاً همین ترفندِ متمم را (به‌زبانِ دودویی، یعنی با ۰ و ۱ به‌جای ۰ تا ۹) به‌کار می‌برند. برای فهمِ بقیهٔ این سطح لازم نیست چیزی از کامپیوتر بدانی — همین یک جمله کافی بود!
متمم n رقمی
این بخش از حروف به‌جای عدد استفاده می‌کند — یک زبانِ کوتاه‌نویسی که ریاضی‌دان‌ها برایش «فرمول» می‌گویند. اینجا n یعنی «چند رقم داریم» (مثلاً ۵) و x یعنی «همان عددی که داریم رویش کار می‌کنیم». و 10ⁿ یعنی عددِ ۱ به‌همراه n تا صفر — مثلاً برای n = 5، می‌شود 100000.
اگر تصمیم بگیریم فقط با n رقم کار کنیم، متممِ n رقمیِ عددِ x (که آن را C(x) می‌نامیم) این‌طور تعریف می‌شود:
چرا این به‌دردمان می‌خورد؟ اگر عددی را با متممش جمع بزنیم:
ترفندِ متمم‌های نُه
گرفتنِ متمم با تفریقِ مستقیم (مثلِ 100000 − 147) ذهناً سخت است، چون قرض‌گرفتن پیاپی لازم دارد. راهِ ساده‌تر: هر رقم را با متممِ نُه‌اش عوض کن، و در آخر یک واحد به آخرین رقم اضافه کن.
| گام | کار | نتیجه |
|---|---|---|
| ۱ | عددِ 147 را با ۵ رقم بنویس: 00147. | 00147 |
| ۲ | هر رقم را با متممِ نُه‌اش عوض کن: 0→9, 0→9, 1→8, 4→5, 7→2. | 99852 |
| ۳ | یک واحد به آخرین رقم اضافه کن. | 99853 |
مثال: تفریق با جمعِ متمم
حالا 462 − 289 را با همین ترفند حساب می‌کنیم، به‌جای تفریقِ مستقیم.
برای انجام تمرین این بخش وارد حساب شوید.
وروداین ترفند وقتی واقعاً به‌کار می‌آید که چند تفریق یا یک تفریقِ بزرگ در وسطِ یک محاسبهٔ طولانی داری و می‌خواهی همه‌چیز را با همان مکانیکِ جمع (بدونِ قرض‌گرفتن) جلو ببری — دقیقاً همان ایده‌ای که در تمرینِ «شروع با تفریق» در سطحِ ۱۰ به آن اشاره شد.
خودسنجی
- چرتکه چه چیزی را نمی‌تواند به‌تنهایی نشان بدهد؟
- متممِ <span class="ltrnum">n</span> رقمیِ <span class="ltrnum">x</span> چطور تعریف می‌شود؟
- ساده‌ترین راهِ ذهنیِ گرفتنِ متمم چیست؟
- در مثالِ <span class="ltrnum">462 − 289</span>، بعد از جمع‌زدنِ <span class="ltrnum">462 + 711 = 1173</span>، با رقمِ اضافیِ سمتِ چپ (۱) چه‌کار می‌کنیم؟