سطح ۱۳ — بخش چهارم
ریشهٔ دوم و ریشهٔ سوم
وقتی عددی را در خودش ضرب کنیم، به نتیجه می‌گوییم مربعِ آن عدد — مثلاً مربعِ 3 برابر 9 است، چون 3 × 3 = 9.
ریشهٔ دوم دقیقاً کارِ برعکس است: دنبالِ چه عددی می‌گردیم که مربعش، همان عدد اصلی بشود؟ مثلاً ریشهٔ دوم 9 برابر 3 است. علامتش √ است، پس می‌نویسیم √9 = 3.
ریشهٔ سوم همین ایده است، فقط با سه‌بار ضرب (به‌جایِ مربع، «مکعب»): ریشهٔ سومِ 8 برابر 2 است، چون 2 × 2 × 2 = 8.
اپراتورهای حرفه‌ای ریشهٔ دوم را هم روی چرتکه حساب می‌کنند — رقم به رقم، بدون هیچ حدس کورکورانه‌ای. ایده این است: رقم‌های عدد را از روی نقطهٔ اعشار، دوتا‌دوتا گروه‌بندی کن (مثلاً ۹۶۱ می‌شود ۹ | ۶۱). هر گروه، یک رقم از ریشه را می‌سازد. برای پیدا کردنِ اولین رقم، همین جدولِ سادهٔ مربع‌ها کافی است.
| عدد | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | ۶ | ۷ | ۸ | ۹ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| مربعش | ۱ | ۴ | ۹ | ۱۶ | ۲۵ | ۳۶ | ۴۹ | ۶۴ | ۸۱ |
روشِ رقم‌به‌رقم
چیدمانِ روی چرتکه شبیه همان تقسیم است: مقسوم (یعنی خودِ عددی که از آن ریشه می‌گیریم) سمتِ راست می‌نشیند، و یک «مقسوم‌علیهِ در حالِ رشد» — دو برابرِ ریشه‌ای که تا اینجا پیدا کرده‌ای — سمتِ چپش شکل می‌گیرد. فرقش با تقسیمِ معمولی این است که مقسوم‌علیه ثابت نیست: بعد از هر رقمِ تازه‌ای که به ریشه اضافه می‌شود، همان رقم به آخرِ مقسوم‌علیه هم می‌چسبد و آن را کمی بزرگ‌تر می‌کند.
قدم‌ها این‌طور تکرار می‌شوند: مربعِ رقمِ ریشه را از گروهِ فعلی کم کن، گروهِ دورقمیِ بعدی را کنارِ باقیمانده بیاور، مقسوم‌علیه را با دو برابرِ ریشهٔ تاکنون به‌روز کن، و رقمِ بعدی را طوری انتخاب کن که وقتی به همان مقسوم‌علیه چسباند و در آن ضرب شود، از عددِ رویِ چرتکه رد نشود. همین چرخه، گروه‌به‌گروه، تا وقتی باقیمانده صفر شود یا به دقتِ دلخواه برسی، ادامه دارد.
برای اولین گروه، بزرگ‌ترین رقمی را انتخاب می‌کنی که مربعش از آن گروه رد نشود — دقیقاً همان کاری که در همین جدولِ مربع‌ها می‌بینی. برای گروه‌های بعدی، ریشهٔ به‌دست‌آمده تا آن لحظه را دو برابر می‌کنی و از آن به‌عنوان شروعِ یک تقسیم استفاده می‌کنی تا رقمِ بعدی پیدا شود؛ هرچه جلوتر می‌روی، این محاسبه بیشتر شبیهِ یک تقسیمِ معمولی می‌شود. (در فرمول‌های زیر، حرفِ d فقط یک جای‌خالی است برای «رقمی که دنبالش می‌گردیم» — همیشه یکی از ۰ تا ۹.)
چرا دو برابرِ ریشه؟ فرض کن ریشهٔ واقعی برابر است با (ریشهٔ تاکنون + d). اگر این را به توانِ دو برسانیم: (ریشه + d)2 = ریشه2 + 2×ریشه×d + d2. بخشِ ریشه² را همین الان از باقیمانده کم کرده‌ایم؛ آنچه می‌ماند باید توسطِ 2×ریشه×d + d² پوشش داده شود. چون d یک رقم است (کوچک)، جملهٔ 2×ریشه×d سهمِ اصلی را دارد — برای همین «دو برابرِ ریشهٔ تاکنون» تقریبِ خوبی برای مقسوم‌علیهِ رقمِ بعدی است. (همین رابطه را، با نامِ رسمی‌ترِ (a+b)²، در سطحِ ۱۸ دوباره می‌بینی.)
مثال حل‌شده: ریشهٔ ۹۶۱
عدد ۹۶۱ را به دو گروه 9 و 61 تقسیم می‌کنیم.
| گام | کار | وضعیت |
|---|---|---|
| ۱ | اولین گروه 9؛ از جدولِ مربع‌ها، رقمِ 3 را می‌یابیم (3² = 9). | ریشه تاکنون: 3 |
| ۲ | 9 را از گروهِ اول کم می‌کنیم؛ باقیمانده صفر است. | باقیمانده: 0 |
| ۳ | گروهِ بعدی (61) را کنارِ باقیمانده می‌آوریم، و ریشهٔ تاکنون (3) را دو برابر می‌کنیم: 2 × 3 = 6. | عدد کار: 061 |
| ۴ | دنبالِ رقمی مثلِ d می‌گردیم که (60 + d) × d از 61 رد نشود. با d = 1: 61 × 1 = 61 — دقیقاً برابر است! | رقم بعدی: 1 |
| نتیجه | باقیمانده صفر شد؛ ریشهٔ دقیقِ ۹۶۱ برابر است با: | 31 (چون 31² = 961) |
روی چرتکه، این محاسبه با نگه‌داشتنِ «دو برابرِ ریشهٔ تاکنون» در ستون‌های سمتِ چپ و باقیمانده در سمتِ راست پیش می‌رود — دقیقاً مثل یک تقسیمِ معمولی، با این تفاوت که مقسوم‌علیه (اینجا ۶۱، یعنی «شصت‌وچیزی») هر قدم کمی تغییر می‌کند، چون رقمِ تازه‌یافته به آن اضافه می‌شود.
مثال: رقم‌به‌رقم روی چرتکه
همان روشِ رقم‌به‌رقمی را که در مثالِ بالا دیدی، حالا کامل و روی خودِ چرتکه ببین.
برای انجام تمرین این بخش وارد حساب شوید.
ورودتمرین: اولین رقمِ ریشه
برای هر عددِ دورقمی، بزرگ‌ترین رقمی را پیدا کن که مربعش از آن رد نشود — دقیقاً همان قدمِ اولِ گرفتنِ ریشهٔ دوم.
برای انجام تمرین این بخش وارد حساب شوید.
ورودریشهٔ سوم، به‌اختصار
همان ایده برای ریشهٔ سوم هم کار می‌کند — رقم‌ها را سه‌تاسه‌تا گروه می‌کنی و از جدولِ مکعب‌ها (۱ تا ۹) برای اولین رقم استفاده می‌کنی. اما یک پیچیدگیِ اضافه هست: ریشهٔ دوم فقط به «نصف‌کردن» نیاز داشت (و ۲ به‌سادگی مقسوم‌علیهِ ۱۰ است)، ولی ریشهٔ سوم به «یک‌سومِ» مقدارها نیاز دارد، و یک‌سومِ عددهای صحیح همیشه کسرِ متناهی نمی‌دهد.
دلیلِ مقسوم‌علیهِ عجیب‌ترِ ریشهٔ سوم هم همان بسطِ دوجمله‌ای است، فقط یک پله جلوتر: (a + d)3 = a3 + 3a2d + 3ad2 + d3. بخشِ a³ را کم کرده‌ایم، و آنچه می‌ماند باید توسطِ بقیهٔ جمله‌ها پوشش داده شود — همانی که در ادامه به‌شکلِ (300a² + 30ad + d²) × d می‌بینی. سه جمله به‌جایِ دو جمله، یعنی محاسبه‌اش هم یک پله سخت‌تر است.
برای همین، ریشهٔ سوم با چرتکه سازگاریِ کمتری دارد و اپراتورهای حرفه‌ای بیشتر برای آن به روش‌های تقریبی (مثل روشِ نیوتن) یا جدول‌های آماده متکی بودند تا محاسبهٔ رقم‌به‌رقمِ کامل.
با این حال، وقتی عدد «تمیز» باشد، همان رقم‌به‌رقم هم جواب می‌دهد — این دمو یک نمونهٔ چنین حالتی را نشان می‌دهد.
مثال: ریشهٔ سومِ ۱۷۲۸
و همین‌طور برای ریشهٔ سوم — یک نمونهٔ «تمیز» که رقم‌به‌رقم دقیقاً جواب می‌دهد.
برای انجام تمرین این بخش وارد حساب شوید.
ورودخودسنجی
- رقم‌های یک عدد برای گرفتنِ ریشهٔ دوم چطور گروه‌بندی می‌شوند؟
- برای پیداکردنِ اولین رقمِ ریشهٔ ۹۶۱، از کدام گروه استفاده می‌کنیم؟
- در گامِ دومِ مثالِ ۹۶۱، چرا ریشهٔ تاکنون (۳) دو برابر می‌شود؟
- چرا ریشهٔ سوم با چرتکه سختی بیشتری دارد تا ریشهٔ دوم؟